کاربرد روش تبدیل دیفرانسیلی در یافتن سطح آزاد نشت محیط متخلخل یک بعدی

مهندسی عمران فردوسی

مقاله 1، دوره 37، شماره 1 - شماره پیاپی 45، اردیبهشت 1403، صفحه 1-18   

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

شناسه دیجیتال (DOI): 10.22067/jfcei.2024.82170.1226

نویسندگان

محمدصالح برادران¹؛ احمد آفتابی ثانی^{* 2}؛ سعید ابریشمی³

¹دانشکده مهندسی، دانشگاه آزاد اسلامی مشهد

²دانشکده مهندسی عمران، دانشگاه فردوسی مشهد.

³دانشکده مهندسی عمران، دانشگاه فردوسی مشهد

چکیده

تاکنون روش‌های عددی متنوعی مانند تفاضلات محدود، حجم محدود و اجزای محدود برای حل مسئله‌ی سطح آزادِ نشت، در محیط یک بُعدی و دو بُعدی، بکار رفته است. معادله‌ی ریاضی حاکم بر مسئله‌ی نشت در محیط متخلخل، معادله‌ی لاپلاس می‌باشد. روش‌های تفاضلات محدود و اجزای محدود، بر پایه شبکه‌بندی سطح مورد نظر و بدست آوردن مقادیر هد در این سطح و تکرار این روند تا رسیدن به همگرایی موردنظر، مبتنی هستند. در این مقاله، مسأله‌ی سطح آزاد نشت در ستون آب یک‌بعدی، با استفاده از روش تبدیل دیفرانسیلی که روشی است مبتنی بر سری تیلور، با درنظر گرفتن شرایط مرزی موجود، حل شده و سپس، جواب حاصل با حل تحلیلی مسأله که در بخش پیوست مقاله درج شده است، مقایسه می‌گردد. خوشبختانه، نتایج حاصل نشان‌دهنده این است که روش تبدیل دیفرانسیلی پاسخ بسیار دقیق و خوبی ارائه می‌دهد. ناگفته نماند، روشِ تبدیل دیفرانسیلی یک روش نیمه ـ تحلیلی است که تاکنون، برای حل انواع معادلات دیفرانسیل مورد استفاده قرار گرفته است، اما هنوز در حل مسأله‌ی سطح آزاد نشت بکار گرفته نشده است.

کلیدواژه‌ها

روش تبدیل دیفرانسیلی؛ محیط متخلخل؛ معادله لاپلاس؛ سطح آزاد نشت؛ روش فشار گسترده

مراجع

 [1] USACE. Seepage analysis and control for dams. (1993)

 [2] M. Baudin, C. Berthon, F. Coquel, M. Roland, “A relaxation method for two-phase flow models with hydrodynamic closure law,” Numerische Mathematik, vol. 99, no. 3, pp. 411-440, (2005).

[3] S. S. Motsa, P. G. Dlamini and M. Khumalo, “Spectral relaxation method and spectral quasilinearization method for solving unsteady boundary layer flow problems.” Advances in Mathematical Physics, (2014).

[4] M. T. Ayvaz, M. Tuncan, H. Karahan, A. Tuncan, “An extended pressure application for transient seepage problems with a free surface,” Journal of Porous Media, vol. 8, no. 6, pp. 613-625 (2005).

[5] Southwell, R. V. Relaxation methods. (1946).

 [6] F. Coquel, E. Goquel. B. Perthame. A. In, P. Rascle, “Some new Godunov and relaxation methods for two-phase flow problems,” Godunov Methods, Springer, vol. 1, pp. 179-188, (2001).

[7] Harr, M. E. Groundwater and seepage. Courier Corporation. (2012).

 [8] K. J. Bathe, M. R. Khoshgoftaar, M. R, “Finite element free surface seepage analysis without mesh iteration,” International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, vol. 3, no, 1, pp. 13-22, (1979).

[9] M. H. Bazyar, A. Graili, “A practical and efficient numerical scheme for the analysis of steady state unconfined seepage flows,” International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, vol. 36, no. 16, pp. 1793-1812, (2012).

[10] K. Chaiyo, P. Rattanadecho, S. Chantasiriwan, “The method of fundamental solutions for solving free boundary saturated seepage problem,” International Communications in Heat and Mass Transfer, vol. 38, no. 2, pp. 249-254, (2011).

[11] J. T. Chen, C. C. Hsiao, Y. P.Chiu, Y. T. Lee, “Study of free‐surface seepage problems using hypersingular equations,” Communications in numerical methods in engineering, vol. 23, no. 8, pp. 755-769, (2007).

[12] A. Cividini and G. Giancarlo, “Finite-element approach to the erosion and transport of fine particles in granular soils,” International Journal of Geomechanics. vol. 4, no. 3, pp. 191-198, (2004).

[13] Fengzhi, L. Scaled Boundary Finite-element Method for Seepage Free Surfaces Analysis [J]. Chinese Journal of Computational Physics, 5 (2009).

 [14] M. I. Herreros, M, Mabssout, M. Pastor, “Application of level-set approach to moving interfaces and free surface problems in flow through porous media,” Computer methods in applied mechanics and engineering, vol. 195, no, 1-3, pp. 1-25, (2006).

[15] M. J. Kazemzadeh-Parsi, F. Daneshmand, “Three dimensional smoothed fixed grid finite element method for the solution of unconfined seepage problems,” Finite Elements in Analysis and Design, vol. 64, pp. 24-35, (2013).

[16] M. J. Kazemzadeh‐Parsi, F. Daneshmand, “Unconfined seepage analysis in earth dams using smoothed fixed grid finite element method,” International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, vol. 36, no. 6, pp. 780-797, (2012).

[17] S. S. Athani, Shivamanth, C. H. Solanki, G. R. Dodagoudar, “Seepage and stability analyses of earth dam using finite element method,” Aquatic Procedia, vol. 4, pp. 876-883, (2015).

[18] G. Li, J. Ge, J, Y. Jie, “Free surface seepage analysis based on the element-free method,”. Journal of Tsinghua University (Science and Technology) ((Mechanics research communications)), p. 11, (2002).

[19] M. Bazyar, A. Talebi, “Transient seepage analysis in zoned anisotropic soils based on the scaled boundary finite‐element method,” International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, vol. 39, no. 1, pp. 1-22, (2015).

[20] Y. Jie, G. Jie, Z. Mao, G. Li, “Seepage analysis based on boundary-fitted coordinate transformation method,” Computers and Geotechnics, vol. 31, no. 4, pp. 279-283, (2004).

[21] J. Zhang, Q. Xu, Z. Chen, “Seepage analysis based on the unified unsaturated soil theory,” Mechanics Research Communications, vol. 28, no. 1, pp. 107-112, (2001).

[22] H. Zheng, H. C. Dai, D. F. Liu, “A variational inequality formulation for unconfined seepage problems in porous media,” Applied Mathematical Modelling, vol. 33, no. 1, pp. 437-450, (2009).

[23] K. Chaiyo, P. Rattanadecho, S. Chantasiriwan, “The method of fundamental solutions for solving free boundary saturated seepage problem,” International Communications in Heat and Mass Transfer, vol. 38, no. 2, pp. 249-254, (2011).

[24] M, Li., Diao, N-r. Diao, Z-H. Fang, Analysis of seepage flow in a confined aquifer with a standing column well, Journal of Hydrodynamics, Ser. B, vol. 19, no. 1, pp. 84-91, (2007).

[25] A. Leontiev, W. Huacasi, “Mathematical programming approach for unconfined seepage flow problem,” Engineering analysis with boundary elements, vol. 25, no. 1, pp. 49-56, (2001).

[26] A. Naji, D. Ouazar, D, A. H. D. Cheng, “Locating the saltwater-freshwater interface using nonlinear programming and h-adaptive BEM,” Engineering analysis with boundary elements, vol. 21, no. 3, pp. 253-259, (1998).

[27] J. K. Zhou, “Differential transformation and its applications for electrical circuits,” In: China, Wuhan, Huazhong University Press, (1986).

 [28] S. H. Ho, C. K. Chen, “Analysis of general elastically end restrained non-uniform beams using differential transform,” Applied Mathematical Modelling, vol. 22, no. 4-), pp. 219-234, (1998).

[29] C. K. Chen, S. H. Ho, “Solving partial differential equations by two-dimensional differential transform method,” Applied Mathematics and computation, vol. 106, no. 2-3, pp. 171-179, (1999).

[30] F. Ayaz, “On the two-dimensional differential transform method,” Applied Mathematics and computation, vol. 143, no. 2-3, pp. 361-374, (2003).

[31] F, Ayaz., “Solutions of the system of differential equations by differential transform method,” Applied Mathematics and computation, vol. 147, no. 2, pp. 547-567, (2004).

[32] J.-P. Bardet, T. Tobita, “A practical method for solving free-surface seepage problems,” Computers and Geotechnics, vol. 29, no. 6, pp. 451-475, (2002).